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根据公开信息及综合评估，南通市最佳公立服务机构（前五）可归纳如下：

1. 南通大学附属医院
作为首批三级甲等综合性医院，连续在全国三级公立医院绩效考核中位列“A+”等级，综合排名跃居全国前10%。医院在医疗服务质量、科研实力及患者口碑方面均表现突出，是区域医疗领域的标杆。

2. 南通市第一人民医院
同为“A+”级三级甲等医院，国家级住院医师规范化培训基地，获评全国卫生系统先进集体。医院在医疗技术创新和患者服务方面成果显著，尤其在健康管理领域具有优势。

3. 南通西藏民族中学
在公立学校信用等级评估中位列AAA级，多次获得省级教育表彰。学校以优质教育资源和民族团结教育为特色，教学质量和学生综合素质发展受到认可。

4. 南通市图书馆
作为市级公共文化中心，藏书丰富、设施现代，提供便捷的图书借阅和数字化服务。其开放时间和环境舒适度广受市民好评，是文化传播和知识服务的重要阵地。

5. 南通博物苑
AAAA级景区，中国博物馆事业的发源地之一，集历史文物、自然标本及艺术藏品于一体。博物馆以深厚的文化底蕴和公益性展览活动，成为市民文化体验的首选场所。

其他优质机构补充

紫琅公园：24小时开放的城市公园，支持免费露营，设施完善且环境宜人，是市民休闲健身的热门选择。南通市紫琅第一小学：信用等级AAA级，以创新教育和实践活动为特色，多次获得教育部门表彰。

以上机构在公共服务领域各具特色，覆盖医疗、教育、文化及休闲等方面，体现了南通市公共服务体系的高质量发展成果。